Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $\large y = x^3 - 3x^2

Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $\large y = x^3 - 3x^2+ 2$ cắt đường thẳng $\large d:\, y  = m(x-1) $ tại ba điểm phân biệt có hoành độ $\large x_1,\, x_2,\, x_3$ thỏa mãn $\large x_1^2+ x_2^2+ x_3^2  > 5$

• A. $\large m\leq -3$
• B. $\large m \leq - 2$
• C. $\large m > - 3$
• D. $\large m > - 2$

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\large x^3 -3x^2 + 2= m(x-1) \Leftrightarrow x^3 -3x^2 -mx + m+ 2= 0$ 

$\large \Leftrightarrow (x-1)(x^2 -2x- m-2) =0 \Leftrightarrow $ $\large \left[\begin{align}& x_1 = 1\\& g(x) = x^2 -2x- (m+2) = 0\, (*)\\\end{align}\right. $

Để hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1

$\large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}& \Delta' > 0 \\& g(1) \neq 0 \\\end{align}\right. $ $\large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}& 1^ 2+ (m+2) > 0\\& 1-2- m-2\neq 0\\\end{align}\right. $ $\large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&  m > -3\\& m \neq -3\\\end{align}\right. $ $\large \Leftrightarrow m > - 3$

Gọi $\large x_2,\, x_3$ là hai nghiệm của phương trình (*)

Theo định lí Viet ta có: $\large \left\{\begin{align}& x_2+ x_ 3= 2\\& x_2.x_3 = -(m+2) \\\end{align}\right. $

Theo bài ra ta có: $\large x_1^2 + x_2^ 2+ x_3^2  > 5\Leftrightarrow 1+ x^2_2 + x_3^2 > 5\Leftrightarrow x_2^2 + x_3^2 > 4$

$\large \Leftrightarrow (x_2+ x_3)^2 - 2x_2.x_3 > 4 \Leftrightarrow 4 + 2(m+2) > 4\Leftrightarrow m > -2$

So sánh điều kiện ở trên suy ra: $\large m > - 2$

Kết luận: $\large m> -2 $ thỏa mãn yêu cầu bài toán