Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đấy bằng a, tâm O. Gọi M và N

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đấy bằng a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng $\large 60^\circ$, cosin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD) bằng

• A. $\large \dfrac{\sqrt{5}}{5}$
• B. $\large \dfrac{\sqrt{41}}{41}$
• C. $\large \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
• D. $\large \dfrac{2\sqrt{41}}{41}$

Chọn C

Chọn hệ trục tọa đọ Oxyz như hình vẽ. Đặt $\large SO = m$, $\large (m> 0)$

$\large A\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2}; 0;0\right);\, S(0;0;m);\, N\left(-\dfrac{a\sqrt{2}}{4}; \dfrac{a\sqrt{2}}{4};0\right)\Rightarrow M\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{4};0;\dfrac{m}{2}\right) $

$\large \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \left( -\dfrac{a\sqrt{2}}{2}; \dfrac{a\sqrt{2}}{4}; -\dfrac{m}{2}\right) $. Mặt phẳng (ABCD) có vecto pháp tuyến $\large \vec{k} = (0;0;1)$

$\large \Rightarrow \sin (MN,(ABCD)) = \dfrac{|\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{k}|}{|\overrightarrow{MN}|.|\vec{k}|}= \dfrac{\dfrac{m}{2}}{\sqrt{\dfrac{5a^2}{8}+ \dfrac{m^2}{4}}}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow m^ 2= \dfrac{15a^2}{8}+ \dfrac{3m^2}{4}$

$\large \Rightarrow 2m^2 = 15a^2 \Rightarrow m= \dfrac{a\sqrt{30}}{2}$

$\large \Rightarrow \overrightarrow{MN}= \left( -\dfrac{a\sqrt{2}}{2}; \dfrac{a\sqrt{2}}{4}; -\dfrac{a\sqrt{30}}{4} \right )$, mặt phẳng (SBD) có vecto pháp tuyến là $\large \vec{i} = (1;0;0)$

$\large \Rightarrow \sin (MN,(ABCD))= \dfrac{|\overrightarrow{MN}.\vec{i}|}{|\overrightarrow{MN}|.|\vec{i}|}= \dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{ \dfrac{a^2}{2 }+ \dfrac{a^2}{8}+ \dfrac{30a^2}{16}}}= \dfrac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow \cos (MN,(SBD))= \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$