Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ có hai đường tròn đáy cùng

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ có hai đường tròn đáy cùng nằm trên mặt cầu bán kính bằng 3 cho trước.

 

• A. $\large 24\pi\sqrt{3}$
• B. $\large 9\pi\sqrt{3}$
• C. $\large 12\pi\sqrt{3}$
• D. $\large 18\pi\sqrt{3}$

Gọi bán kính đáy của khối trụ là: $\large r (0

Do hình trụ nội tiếp mặt cầu nên đường cao của hình trụ là: $\large h=2\sqrt{9-r^2}$

Thể tích của khối trụ:

$\large V=\pi.r^2h=2\pi r^2\sqrt{9-r^2}=4\pi\sqrt{\dfrac{r^2}{2}.\dfrac{r^2}{2}.(9-r^2)}\leq 4\pi\sqrt{\left(\dfrac{\dfrac{r^2}{2}+\dfrac{r^2}{2}+(9-r^2)}{3}\right)^3}=12\pi\sqrt{3}$

Dấu bằng xảy ra khi: $\large \dfrac{r^2}{2}=9-r^2\Rightarrow r=\sqrt{6}$

Vậy: $\large Max (V)=12\pi\sqrt{3}$