Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$ cho ba điểm $\Large A(2;

Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$ cho ba điểm $\Large A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6)$. Điểm $\Large M$ thay đổi trên mặt phẳng $\Large (ABC)$ và $\Large N$ là điểm trên tia $\Large OM$ sao cho $\Large OM.ON=12$. Biết rằng khi $\Large M$ thay đổim điểm $\Large N$ luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó.

 

• A.

  $\Large 2\sqrt{2}$.

• B.

  $\Large \dfrac{7}{2}.

• C.

  $\Large 2\sqrt{3}$.

• D.

  $\Large \dfrac{5}{2}$.

Chọn B

Gọi điểm $\Large N(x; y; z)$.

Ta có $\Large O, M, N$ thẳng hàng $\Large \Rightarrow OM.ON=12$ $\Large \Rightarrow \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=12$ $\Large \Rightarrow \overrightarrow{OM}=\dfrac{12}{\overrightarrow{ON}}=\dfrac{12}{ON^2}.\overrightarrow{ON}$

$\Large =\dfrac{12}{x^2+y^2+z^2}(x; y; z)$ $\Large \Rightarrow M\left(\dfrac{12}{x^2+y^2+z^2}; \dfrac{12y}{x^2+y^2+z^2}; \dfrac{12z}{x^2+y^2+z^2}\right)$.

Mặt phẳng $\Large (ABC)$ có phương trình $\Large \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{6}=1$ $\Large \Leftrightarrow 6x+3y+2z-12=0$.

Do $\Large M\in (ABC)$ nên thay tọa độ điểm $\Large M$ vào phương trình hai mặt phẳng $\Large (ABC)$ ta có:

$\Large 6\dfrac{12x}{x^2+y^2+z^2}+3\dfrac{12y}{x^2+y^2+z^2}+2\dfrac{12z}{x^2+y^2+z^2}-12=0$ $\Large \Leftrightarrow 6x+3y+2z-(x^2+y^2+z^2)=0$

$\Large \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-6x-3y-2z=0$.

Vậy khi $\Large M$ thay đổi trên $\Large (ABC)$ thì $\Large N$ luôn thuộc mặt cầu tâm $\Large I\left(3; \dfrac{3}{2}; 1\right)$, bán kính $\Large R=\sqrt{9+\dfrac{9}{4}+1}=\dfrac{7}{2}$.