Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình $\large x^2+(m^3-4m)x\geq

Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình $\large x^2+(m^3-4m)x\geq m\ln(x^2+1)$ nghiệm đúng với mọi số thực x ?

• A. 2
• B. 1
• C. 3
• D. Vô số.

Ta có: $\large x^2+(m^3-4m)x\geq m\ln (x^2+1)\Leftrightarrow x^2+(m^3-4m)x-m.\ln(x^2+1)\geq 0 (1)$

Xét hàm số: $\large (C): f(x)=x^2+(m^3-4m)x-m\ln(x^2+1)$ có $\large f'(x)=2x+m^3-4m-\dfrac{2mx}{x^2+1}$

Để (1) nghiệm đúng với mọi số thực x thì (C) phải nằm hoàn toàn phía trên trục Ox (có thể có điểm chung với trục Ox ). Mà ta dễ thấy đồ thị hàm số f(x) và trục Ox có điểm chung là gốc tọa độ O nên điều kiền cần phải có là trục Ox phải là tiếp tuyến của (C) tại O. Suy ra:

$\large f'(0)=0\Leftrightarrow m^3-4m=0$ $\large \Leftrightarrow \left[\begin{align}& m=0\\& m=\pm 2\\\end{align}\right.$

Thử lại:

- Với $\large m=0$ thì $\large (1)\Leftrightarrow x^2\geq 0$ điều này nghiệm đúng với mọi số thực x, nên m = 0 thỏa mãn.

- Với $\large m=2$ thì $\large (1)\Leftrightarrow x^2-2\ln (x^2+1)\geq 0$ không thỏa mãn với x = 1 , nên loại trường hợp này.

- Với $\large m=-2$ thì $\large (1)\Leftrightarrow x^2+2\ln (x^2+1)\geq 0$ dễ thấy điều này nghiệm đúng với mọi số thực x, nên m = -2 thỏa mãn.

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: m = 0; m = -2