Giả sử $\Large z_1, z_2$ là hai trong số các số phức $\Large z$ thỏa m

Giả sử $\Large z_1, z_2$ là hai trong số các số phức $\Large z$ thỏa mãn $\Large (z+i)\left(\overline{z}+3i\right)$ là số thuần ảo. Biết rằng $\Large |z_1-z_2|=3$. Giá trị lớn nhất của $\Large |z_1+2z_2|$ bằng

• A.

  $\Large 2\sqrt{2}+3$.

• B.

  $\Large 3+3\sqrt{2}$.

• C.

  $\Large 2+2\sqrt{3}$.

• D.

  $\Large 2\sqrt{3}+3$.

Chọn B

$\Large z=a+bi$

$\Large (z+i)(\overline{z}+3i)=\left(a+(b+1)i\right)(a-bi+3i)$

$\Large =a^2+\left(a(3-b)+a(b+1)\right)i-(b+1)(3-b)$

$\Large (z+i)(\overline{z}+3i)$ thuần ảo $\Large \Rightarrow a^2-(b+1)(3-b)=0$ $\Large \Leftrightarrow a^2-(3b-b^2+3-b)=0$

$\Large \Leftrightarrow a^2+b^2-2b-3=0$ $\Large \Leftrightarrow a^2+(b-1)^2=2^2$ $\Large (C)$

$\Large (C)$ tâm $\Large I(0; 1)$; $\Large R=2$

$\Large \Rightarrow z$ là số phức thỏa $\Large |z-i|=2$

Đặt $\Large \left\{\begin{align} & \omega_1=z_1-i\\ & \omega_2=z_2-i\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align} & |\omega_1|=|\omega_2|=2; |\omega_1-\omega_2|=|z_1-z_2|=3\\ & T=|z_1+2z_2|=|(\omega_1+i)+2(\omega_2+i)|\end{align}\right.$

$\Large T=|\omega_1+2i\omega_2+3i|\leq |\omega_1+2\omega_2|+3$

Ta có: $\Large |\omega_1-\omega_2|=3$ $\Large \Leftrightarrow |\omega_1-\omega_2|^2=|\omega_1|^2+|\omega_2|^2+2|\omega_1\omega_2|=9$ $\Large \Rightarrow |\omega_1\omega_2|=\dfrac{-1}{2}$

$\Large |\omega_1+2\omega_2|=\sqrt{|\omega_1+2\omega_2|^2}+\sqrt{|(\omega_1+2\omega_2)^2|}$

$\Large =\sqrt{|\omega_1|^2+4|\omega_2|^2+4|\omega_1\omega_2|}=\sqrt{5.4+4.\dfrac{-1}{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

$\Large \Rightarrow |\omega_1+2\omega_2|=3\sqrt{2}$

Như vậy $\Large T\leq |\omega_1+2\omega_2|+3=3+3\sqrt{2}$ $\Large \Rightarrow T_{\max}=3+3\sqrt{2}$.