Tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình $\Large ax^3+bx^2+cx+d=

Tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình $\Large ax^3+bx^2+cx+d=0$ (*), (với $\Large a\neq 0$) có 3 nghiệm $\Large x_1, x_2, x_3$ lập thành cấp số nhân.

 

• A.
• B.
• C.
• D.

Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân, khi đó: $\Large x_1x_3=x^2_2$.

Áp dụng định lý Viet đối với phương trình bậc ba, ta có:

$\Large x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}$.

$\Large x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\dfrac{c}{a}$ $\Large \Leftrightarrow x_1x_2+x_2x_3+x_2^2=\dfrac{c}{a}$ $\Large \Leftrightarrow x_2(x_1+x_2+x_3)=\dfrac{c}{a}$ $\Large \Leftrightarrow x_2=-\dfrac{c}{b}$,

Với $\Large x_2=-\dfrac{c}{b}$ thay vào (*) ta được:

$\Large a\left(-\dfrac{c}{b}\right)^3+b\left(-\dfrac{c}{b}\right)^2+c\left(-\dfrac{c}{b}\right)+d=0$ $\Large ac^3=b^3d$.

Đây chính là điều kiện cần để phương trình (*) có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân

Điều kiện đủ: Từ $\Large ac^3=b^3d$ suy ra phương trình (*) có nghiệm $\Large x_2=-\dfrac{c}{b}$. Khi đó:

$\Large x_2(x_1+x_2+x_3)=\left(-\dfrac{c}{b}\right)\left(-\dfrac{b}{a}\right)=\dfrac{c}{a}$$\Large =x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1$ $\Large \Leftrightarrow x_1x_3=x_2^2$ $\Large x_1, x_2, x_3$ lập thành cấp số nhân.

Vậy điều kiện cần và đủ để (*) có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân là: $\Large ac^3=b^3d$.

Với bài toán chỉ chứa một tham số, trong điều kiện đủ ta có thể không thể khẳng định bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của phương trình. Hãy nhớ điều này rất quan trọng bởi khi đó ta còn phải khẳng định phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.