Tìm các số thực a, b sao cho điểm A(0;1) là điểm cực đại của đồ thị hà

Tìm các số thực a, b sao cho điểm A(0;1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số $\large y=a x^{2}+a^{2}+\dfrac{b}{x+1}$

• A.

  A. $\large a=\pm 1 ; b=0$

• B.

  B. $\large a=b=-1$

• C.

  C. $\large a=b=1$

• D.

  D. $\large a=-1 ; b=0$

Tập xác định: $\large D=\mathbb{R} \backslash\{-1\}$. Đạo hàm: $\large y^{\prime}=2 a x-\dfrac{b}{(x+1)^{2}}$.

A(0;1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số $\large \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime}(0)=0 \\
y(0)=1
\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
b=0 \\
a^{2}=1
\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
b=0 \\
a=\pm 1
\end{array}\right.\right.\right.$.

Với a=1, b=0, ta có y'=2x.

Vẽ bảng xét dấu ta thấy y' đổi dấu từ âm sang dương (tính từ trái sang phải) khi qua x=0 nên x=0 là điểm cực tiểu của hàm số (không thỏa mãn).

Với a=-1,b=0, ta có y'=-2x Vẽ bảng xét dấu ta thấy y' đổi dấu từ dương sang âm (tính từ trái sang phải) khi qua x=0 nên x=0 là điểm cực đại của hàm số (thỏa mãn đề bài).

Vậy a=-1, b=0. Chọn D.