Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $\large \log_2^2 x - 3\l

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $\large \log_2^2 x - 3\log_3x + 2m - 7 =0$ có hai nghiệm thực $\large x_1,\, x_2$ thỏa mãn $\large (x_ 1+ 3) (x_2+ 3) = 72$

• A.

  $\large m = \dfrac{9}{2} $

• B.

  $\large m = 3$

• C.

  không tồn tại 

• D.

  $\large m = \dfrac{61}{2} $

Chọn A

Đặt $\large t = \log_3x$

Phương trình đã cho trở thành $\large t^ 2 -3t + 2m- 7= 0$ (*) 

Ứng với mỗi nghiệm t của phương trình (*) có một nghiệm x

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt: 

$\large \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow (-3)^2 - 4(2m - 7) > 0 \Leftrightarrow 9 - 8m + 28 > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{37}{8}$

Gọi $\large t_1,\, t_2 $ là hai nghiệm của phương trình (*)

Theo định lí Viet ta có: $\large t_1+ t_2 =3\Rightarrow \log_3 x_1 + \log_ 3 x_ 2= 3\Leftrightarrow \log_3 (x_1.x_2) = 3\Leftrightarrow x_1.x_2 = 27$

Theo đề bài: $\large (x_1+ 3)(x_2 + 3) = 72 \Leftrightarrow x_1.x_2 + 3( x_1 + x_ 2) = 72 \Leftrightarrow x_1 + x_2 = 12$

Vậy ta có: $\large \left\{\begin{align}& x_1 + x_ 2= 12\\& x_1. x_2 = 27\\\end{align}\right. $ $\large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}& x_ 1= 9\\& x_ 2= 3\\\end{align}\right. $ $\large \Rightarrow \left\{\begin{align}& t_1 = 2\\& t_2= 1\\\end{align}\right. $ $\large \Rightarrow t_1.t_2 = 2$

Theo định lý Viet ta có: $\large t_1.t_2= 2\Leftrightarrow 2 = 2m- 7\Leftrightarrow  m = \dfrac{9}{2} $ (thỏa mãn)

Kết luận: $\large m = \dfrac{9}{2} $ thỏa mãn yêu cầu bài toán