Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh

Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc $\large 60^{\circ}$ . Diện tích của thiết diện này bằng

• A.

  A. $\large \dfrac{a^{2}\sqrt{2}}{2}$

• B.

  B. $\large \dfrac{a^{2}\sqrt{2}}{3}$

• C.

  C. $\large 2a^{2}$

• D.

  D. $\large \dfrac{a^{2}\sqrt{2}}{4}$

Diện tích thiết diện là $\large S_{\Delta SCD} = \dfrac{1}{2}SH.CD$ 

Ta có: $\large AB = a\sqrt{2}\Rightarrow R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} = SO$. 

$\large SH = \dfrac{SO}{sin60^{\circ}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$. 

$\large CD = 2CH = 2\sqrt{R^{2}-OH^{2}} = 2\sqrt{\dfrac{a^{2}}{2}-(SO.tan30^{\circ})^{2}}$ 

$\large = 2\sqrt{\dfrac{a^{2}}{2}-\left (\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{3}  \right )^{2}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}a$.

Vậy diện tích 

$\large S_{\Delta SCD} = \dfrac{1}{2}\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\dfrac{2\sqrt{3}}{3}a = \dfrac{\sqrt{2}a^{2}}{3}$.

Chọn đáp án B.