Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $\large y=2 x^{3}+3(m-

Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $\large y=2 x^{3}+3(m-1) x^{2}+6(m-2) x+2017$ nghịch biến trên khoảng (a;b) sao cho b-a>3.

 

• A.

  $\Large \left[\begin{matrix}m>6\\ m<0\end{matrix}\right.$

• B.

  $\Large \left[\begin{matrix}m>-6\\ m<0\end{matrix}\right.$

• C.

  $\Large \left[\begin{matrix}m>6\\ m\leq0\end{matrix}\right.$

• D.

  $\Large m=0;m=-6$

Ta có $\large y^{\prime}=6 x^{2}+6(m-1) x+6(m-2)$

Hàm số nghịch biến trên $\large (a ; b) \Leftrightarrow x^{2}+(m-1) x+(m-2) \leq 0 \forall x \in(a ; b)$

$\large \Delta=m^{2}-6 m+9$

TH1: $\large \Delta \leq 0 \Rightarrow x^{2}+(m-1) x+(m-2) \geq 0 \forall x \in R \Rightarrow$ Không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TH2: $\large \Delta>0 \Leftrightarrow m \neq 3 \Rightarrow y^{\prime}$ có hai nghiệm $\large x_{1}, x_{2}\left(x_{2}>x_{1}\right)$

$\large \Rightarrow$ Hàm số luôn nghịch biến trên $\large \left(x_{1} ; x_{2}\right)$.

Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình y'=0 ta có:$\Large \left\{\begin{matrix}x_1+x_2=-(m-1)\\ x_1.x_2=m-2\end{matrix}\right.$

Yêu cầu đề bài: $\large \Leftrightarrow x_{2}-x_{1}>3 \Leftrightarrow\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}>9 \Leftrightarrow\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4\left(x_{1} \cdot x_{2}\right)>9$

$\large \Leftrightarrow(m-1)^{2}-4(m-2)>9 \Leftrightarrow m^{2}-6 m>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m>6 \\m<0\end{array}\right.$