Cho hàm số $\large y=\dfrac{m-x}{x+2}\left(H_{m}\right)$ .Tìm m để đườ

Cho hàm số $\large y=\dfrac{m-x}{x+2}\left(H_{m}\right)$ .Tìm m để đường thẳng $\large d: 2 x+2 y-1=0$ cắt ($\large H_{m}$) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng $\large \dfrac{3}{8}$

• A.

  $\Large m=0$

• B.

  $\Large m=\dfrac{1}{2}$

• C.

  $\Large m=1$

• D.

  $\Large m=\dfrac{3}{2}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:

$\large \dfrac{m-x}{x+2}=\dfrac{1}{2}-x ;(x \neq-2) \Leftrightarrow g(x)=2 x^{2}+x+2 m-2=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 2

$\large \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}
\Delta>0 \\
g(-2) \neq 0
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}
1-8(2 m-2)>0 \\
4+2 m \neq 0
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}
m<\dfrac{17}{16} \\
m \neq-2
\end{array}\right.\right.\right.$ (*)

Gọi $\large A\left(x_{1} ; \dfrac{1}{2}-x_{1}\right) ; B\left(x_{2} ; \dfrac{1}{2}-x_{2}\right) $là giao điểm của (Hm) và (d) $\Large\Rightarrow \overrightarrow{A B}=\left(x_{2}-x_{1} ; x_{1}-x_{2}\right) \Rightarrow$

$\large \mathrm{AB} \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}}=\left|\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right| \sqrt{2}$

Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình g(x)=0 ta có: $\Large \left\{\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-1}{2}\\ x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.$

Suy ra: $\Large |x_2-x_1|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}-4(m-1)}=\dfrac{\sqrt{17-16m}}{2}$

Khoảng cách từ O đến d là h, thì: $\large h=\dfrac{|-1|}{\sqrt{2^{2}+2^{2}}}=\dfrac{1}{2 \sqrt{2}}$

Theo giả thiết: $\large \mathrm{S}=\dfrac{1}{2} A B \cdot h=\dfrac{1}{2}\left|x_{2}-x_{1}\right| \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2 \sqrt{2}}=\dfrac{1}{4} \dfrac{\sqrt{17-16 m}}{2}$

Theo yêu cầu bài toán: $\large \dfrac{1}{4} \dfrac{\sqrt{17-16 m}}{2}=\dfrac{3}{8} \Leftrightarrow \sqrt{17-16 m}=3$ $\large \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}
m<\dfrac{17}{16} \\
16 \mathrm{m}=8
\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{m}=\dfrac{1}{2}  $thỏa mãn điều kiện (*)

Đáp số: $\large m=\dfrac{1}{2}$