Cho hàm số $\large y=\frac{2}{3} x^{3}+(m+1) x^{2}+\left(m^{2}+4 m+3\r

Cho hàm số $\large y=\frac{2}{3} x^{3}+(m+1) x^{2}+\left(m^{2}+4 m+3\right) x+m$ có cực trị là $\large x_{1}, x_{2}$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $\large A=\left|2 x_{1} x_{2}-4\left(x_{1}+x_{2}\right)\right|$ bằng:

• A.

  A. 0.

• B.

  B. 8.

• C.

  C. 9.

• D.

  D. $\large +\infty$

Chọn C

Ta có $\large y^{\prime}=2 x^{2}+2(m+1) x+m^{2}+4 m+3$. Hàm số có hai điểm cực trị thì $\large y'=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó ta có $\large 2 x^{2}+2(m+1) x+m^{2}+4 m+3=0$ có hai nghiệm phân biệt

$\large \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a \neq 0 \\
\Delta^{\prime}>0
\end{array} \Leftrightarrow-m^{2}-6 m-5>0 \Leftrightarrow-5

Gọi $\large x_{1} ; x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình trên. Ta có $\large \left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}=-m-1 \\
x_{1} x_{2}=\dfrac{m^{2}+4 m+3}{2}
\end{array}\right.$. Khi đó ta có $\large A=\left|2\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}\right|=\left|(m+4)^2-9\right|=\left|m^{2}+8 m+7\right| \leq 9, \forall x \in(-5 ;-1)$.

Dấu "=" xảy ra khi m = -4(tm)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 9.