Một khối nón có bán kính đáy bằng 2 cm , chiều cao bằng $\large \sqrt{

Một khối nón có bán kính đáy bằng 2 cm, chiều cao bằng $\large \sqrt{3}$ cm. Một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc $\large 60^{\circ}$ chia khối nón làm 2 phần. Tính thể tích V phần nhỏ hơn (Tính gần đúng đến hàng phần trăm).

• A.

  A. $\large V \approx 1,42$ $\large cm^{3}$

• B.

  B. $\large V \approx 2,36$ $\large cm^{3}$

• C.

  C. $\large V \approx 1,53$ $\large cm^{3}$

• D.

  D. $\large V \approx 2,47$ $\large cm^{3}$

Chọn A

Cách 1:

Gọi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc $\large 60^{\circ}$ cắt khối nón theo thiết diện là tam giác SMN như hình vẽ.

Gọi I là trung điểm MN. Khi đó $\large OI \perp MN$ và $\large SI \perp MN$, suy ra góc giữa mặt phẳng (SMN) và mặt đáy là góc $\large \widehat{SIO} = 60^{\circ}$.

Xét tam giác SIO ta có: $\large OI = \dfrac{SO}{tan\widehat{SIO}} = \dfrac{\sqrt{3}}{tan60^{\circ}} = 1$.

$\large IN = \sqrt{ON^{2}-OI^{2}} = \sqrt{3}$, $\large MN = 2.IN = 2\sqrt{3}$.

$\large S_{\Delta OMN} = \dfrac{1}{2}.OI.MN = \sqrt{3}$.

$\large V_{S.OMN} = \dfrac{1}{3}.SO.S_{\Delta OMN} = 1$.

$\large V_{k/non} = \dfrac{1}{3}.\pi .2^{2}.\sqrt{3} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\pi$.

$\large sin\widehat{ION} = \dfrac{IN}{ON} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $\large \widehat{ION} = 60^{\circ}, \widehat{MON} = 2.\widehat{ION} = 120^{\circ}$.

Gọi V là thể tích cần tính

Ta có $\large V = \dfrac{1}{3}V_{k/non}-V_{S.OMN} = \dfrac{4\sqrt{3}}{9}\pi - 1 \approx 1,42$ $\large cm^{3}$.

Cách 2:

Gọi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc $\large 60^{\circ}$ cắt khối nón theo thiết diện là tam giác SMN như hình vẽ.

Gọi I là trung điểm MN. Khi đó $\large OI \perp MN$ và $\large SI \perp MN$, suy ra góc giữa mặt phẳng (SMN) và mặt đáy là góc $\large \widehat{SIO} = 60^{\circ}$.

Xét tam giác SIO ta có: $\large OI = \dfrac{SO}{tan\widehat{SIO}} = \dfrac{\sqrt{3}}{tan60^{\circ}} = 1$.

$\large IN = \sqrt{ON^{2}-OI^{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow MN = 2.IN = 2\sqrt{3}$.

$\large S_{\Delta OMN} = \dfrac{1}{2}.OI.MN = \sqrt{3}$.

Ta có $\large sin\widehat{ION} = \dfrac{IN}{ON} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ suy ra $\large \widehat{ION} = 60^{\circ}, \widehat{MON} = 2.\widehat{ION} = 120^{\circ}$.

Gọi $\large S_{V}$ là diện tích hình viên phân tạo bởi dây MN và cung nhỏ MN.

Ta có $\large S_{V} = \dfrac{1}{3}\pi R^{2}-S_{\Delta OMN} = \dfrac{4\pi }{3}-\sqrt{3}$

Thể tích phần nhỏ cần tính là: $\large V = \dfrac{1}{3}.SO.S_{V} = \dfrac{4\sqrt{3}}{9}\pi -1 \approx 1,42$ $\large cm^{3}$.