Cho hình thang ABCD có $\large \widehat{A} = \widehat{B} = 90^{\circ}$

Cho hình thang ABCD có $\large \widehat{A} = \widehat{B} = 90^{\circ}$, AB = BC = a, AD = 2a. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang ABCD xung quanh trục CD.

• A.

  A. $\large \dfrac{7\sqrt{2}\pi a^{3}}{6}$

• B.

  B. $\large \dfrac{7\sqrt{2}\pi a^{3}}{12}$

• C.

  C. $\large \dfrac{7\pi a^{3}}{6}$

• D.

  D. $\large \dfrac{7\pi a^{3}}{12}$

Gọi E là giao điểm của AB và CD. Gọi F là hình chiếu vuông góc của B trên CE.

Ta có: $\large \Delta BCF = \Delta BEF$ nên tam giác $\large \Delta BCF$ và $\large \Delta BEF$ quay quanh trục CD tạo thành hai khối nón bằng nhau có thể tích $\large V_{1}$.

$\large \Delta ADC = \Delta AEC$ nên tam giác $\large \Delta ADC$ và $\large \Delta AEC$ quay quanh trục CD tạo thành hai khối nón bằng nhau có thể tích V.

Nên thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang ABCD xung quanh trục CD bằng:

$\large 2V-2V_{1} = 2.\dfrac{1}{3}\pi (CD.AC^{2}-CF.BF^{2}) = \dfrac{2}{3}\pi \left [(a\sqrt{2})^{3}-\left (\dfrac{a}{\sqrt{2}}  \right )^{3}  \right ] = \dfrac{7\sqrt{2}\pi a^{3}}{6}$ (đvtt).