Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’ , bán kính đáy bằng

Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, D; trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B, C sao cho AB // CD và AB không cắt OO’. Tính AD để thể tích khối chóp O’.ABCD đạt giá trị lớn nhất.

• A.

  A. $\large AD = 2\sqrt{2}a$

• B.

  B. AD = 4a

• C.

  C. $\large AD = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}a$

• D.

  D. $\large AD = \sqrt{2}a$

Kẻ đường thẳng qua O’ song song với AB cắt mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại $\large O_{1}$.

Lúc đó $\large AO_{1}D.BO'C$ là một hình lăng trụ chiều cao bằng 2a.

Vì AD = BC nên $\large S_{\Delta BO'C} = S_{\Delta OAD}$

Ta có thể tích của khối chóp O’.ABCD:

$\large V_{O'.ABCD} = \dfrac{1}{3}V_{AO_{1}D.BO'C} = \dfrac{2}{3}.2a.S_{BO'C} = \dfrac{2}{3}.2a.S_{OAD}$ 

$\large  = \dfrac{2}{3}.2a.\dfrac{1}{2}.2a.2a.sin\widehat{AOD}\leq \dfrac{8a^{3}}{3}$

$\large (V_{O'.ABCD})_{max} \Leftrightarrow \widehat{AOD} = 90^{\circ} \Leftrightarrow AD = 2\sqrt{2}a$.