MỤC LỤC
Một khối nón có bán kính đáy bằng 2 cm, chiều cao bằng √3√3 cm. Một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc 60∘60∘ chia khối nón làm 2 phần. Tính thể tích V phần nhỏ hơn (Tính gần đúng đến hàng phần trăm).
Lời giải chi tiết:
Chọn A
Cách 1:
Gọi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc 60∘60∘ cắt khối nón theo thiết diện là tam giác SMN như hình vẽ.
Gọi I là trung điểm MN. Khi đó OI⊥MNOI⊥MN và SI⊥MNSI⊥MN, suy ra góc giữa mặt phẳng (SMN) và mặt đáy là góc ^SIO=60∘ˆSIO=60∘.
Xét tam giác SIO ta có: OI=SOtan^SIO=√3tan60∘=1OI=SOtanˆSIO=√3tan60∘=1.
IN=√ON2−OI2=√3IN=√ON2−OI2=√3, MN=2.IN=2√3MN=2.IN=2√3.
SΔOMN=12.OI.MN=√3SΔOMN=12.OI.MN=√3.
VS.OMN=13.SO.SΔOMN=1VS.OMN=13.SO.SΔOMN=1.
Vk/non=13.π.22.√3=4√33πVk/non=13.π.22.√3=4√33π.
sin^ION=INON=√32sinˆION=INON=√32
Suy ra ^ION=60∘,^MON=2.^ION=120∘ˆION=60∘,ˆMON=2.ˆION=120∘.
Gọi V là thể tích cần tính
Ta có V=13Vk/non−VS.OMN=4√39π−1≈1,42V=13Vk/non−VS.OMN=4√39π−1≈1,42 cm3cm3.
Cách 2:
Gọi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc 60∘60∘ cắt khối nón theo thiết diện là tam giác SMN như hình vẽ.
Gọi I là trung điểm MN. Khi đó OI⊥MNOI⊥MN và SI⊥MNSI⊥MN, suy ra góc giữa mặt phẳng (SMN) và mặt đáy là góc ^SIO=60∘ˆSIO=60∘.
Xét tam giác SIO ta có: OI=SOtan^SIO=√3tan60∘=1OI=SOtanˆSIO=√3tan60∘=1.
IN=√ON2−OI2=√3⇒MN=2.IN=2√3IN=√ON2−OI2=√3⇒MN=2.IN=2√3.
SΔOMN=12.OI.MN=√3SΔOMN=12.OI.MN=√3.
Ta có sin^ION=INON=√32 suy ra ^ION=60∘,^MON=2.^ION=120∘.
Gọi SV là diện tích hình viên phân tạo bởi dây MN và cung nhỏ MN.
Ta có SV=13πR2−SΔOMN=4π3−√3
Thể tích phần nhỏ cần tính là: V=13.SO.SV=4√39π−1≈1,42 cm3.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới