Một hộp không nắp được làm từ một mảnh cactong theo hình vẽ. Hộp có đá

Một hộp không nắp được làm từ một mảnh cactong theo hình vẽ. Hộp có đáy là hình vuông cạnh $\large x(cm)$, chiều cao là $\large h(cm)$ và thể tích là $\large 500cm^{3}$. Tính độ dài cạnh hình vuông $\large x$ sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa cactong nhất.

• A.

  A. x = 2cm

• B.

  B. x = 3cm

• C.

  C. x = 5cm

• D.

  D. x = 10cm

Thể tích khối hộp $\large V=x.x.h=x^{2}h=500\Rightarrow h=\frac{500}{x^{2}}$

Để chiếc hộp làm ra ít tốn bìa cactong nhất khi và chỉ khi diện tích toàn phần của hộp là nhỏ nhất. Diện tích toàn phần của hộp (không nắp)

$\large S_{tp}=S_{day}+S_{xung quanh}=x.x+4hx=x^{2}+4hx$

$\large =x^{2}+4x\cdot \frac{500}{x^{2}}=x^{2}+\frac{2000}{x}=x^{2}+\frac{1000}{x}+\frac{1000}{x}\overset{cosi}{\geq }3\sqrt[3]{1000^{2}}$

Dấu "=" xảy ra $\large\Leftrightarrow x^{2}=\frac{1000}{x}=\frac{1000}{x} \Leftrightarrow x^{3}=1000 \Leftrightarrow x=10$

Đáp án D

Cách 2: Xét hàm $\large f(x)=x^{2}+\frac{2000}{x}$ với $\large x> 0$