Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy là hình vuông, gọi $\large M$ là

Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy là hình vuông, gọi $\large M$ là trung điểm của $\large AB$. Tam giác $\large SAB$ cân tại $\large S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $\large (ABCD)$, biết $\large SD=2a\sqrt{5},SC$ tạo với đáy $\large (ABCD)$ một góc $\large 60^{\circ}$ . Tính theo $\large a$ khoảng cách $\large h$ giữa hai đường thẳng $\large MD$ và $\large SA$

• A.

  A. $\large h=\frac{a\sqrt{237}}{79}$

• B.

  B. $\large h=\frac{2a\sqrt{1185}}{79}$

• C.

  C. $\large h=\frac{2a\sqrt{79}}{79}$

• D.

  D. $\large h=\frac{a\sqrt{395}}{79}$

Theo giả thiết $\large SM\perp (ABCD)\Rightarrow \widehat{(SC,(ABCD))}=\widehat{SCM}=60^{\circ}$

Dựng hình bình hành $\large AMDE$, khi đó $\large MD//AE\Rightarrow MD//(SAE)$

$\large\Rightarrow d(M D, S A)=d(M D,(S A E))=d(M,(S A E))(1)$ kẻ $\large MI\perp AE(I\in AE)$ và kẻ $\large MH\perp SI(H\in SI)$

khi đó $\large d(M,(SAE))=MH$ (2)

Ta có $\large ABCD$ là hình vuông nên $\large MC=MD$, khi đó xét tam giác $\large SMC$ và $\large SMD$ ta có:

$\large SM=MC\tan 60^{\circ}=\sqrt{SD^{2}-MD^{2}}\Leftrightarrow \sqrt{3} MC=\sqrt{SD^{2}-MC^{2}} \Leftrightarrow 4MC^{2}=SD^{2} \Leftrightarrow MC=\frac{SD}{2}=a \sqrt{5}$

$\large\Rightarrow SM=MC\tan 60^{\circ}=a\sqrt{15}$

Xét tam giác $\large MCB$ ta có

$\large BM^{2}+BC^{2}=MC^{2}\Leftrightarrow\left(\frac{BC}{2}\right)^{2}+BC^{2}=5a^{2} \Leftrightarrow BC=2a$

Lúc này ta sẽ tính $\large MI$ theo 2 cách

Cách 1: Ta có $\large \cos \widehat{MA}=\cos \widehat{DAE} \Leftrightarrow \frac{IM}{MA}=\frac{AD}{AE} \Rightarrow IM=\frac{MA\cdot AD}{AE}=\frac{a\cdot 2 a}{a\sqrt{5}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}$

Cách 2: Ta có $\large S_{AME}=S_{AMD}=\frac{1}{2} AM.CD=a^{2} \Rightarrow MI=\frac{2S_{AME}}{AE}=\frac{2a^{2}}{a\sqrt{5}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}$

Xét tam giác $\large SMI$ có:

$\large\frac{1}{MH^{2}}=\frac{1}{SM^{2}}+\frac{1}{MI^{2}}=\frac{1}{15 a^{2}}+\frac{5}{4 a^{2}}=\frac{79}{60 a^{2}} \Rightarrow MH=\frac{2a \sqrt{15}}{\sqrt{79}}=\frac{2a \sqrt{1185}}{79}(3)$

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\large h=d(MD,SA)=\frac{2a\sqrt{1185}}{79}$

Đáp án B