Một hình vuông $\Large ABCD$ có cạnh $\Large AB=a$, diện tích $\Large

Một hình vuông $\Large ABCD$ có cạnh $\Large AB=a$, diện tích $\Large S_1$. Nối 4 trung điểm $\Large A_1, B_1, C_1, D_1$ theo thứ tự của 4 cạnh $\Large AB, BC, CD, DA$ ta được hình vuông thứ hai là $\Large A_1B_1C_1D_1$ có diện tích $\Large S_2$. Tiếp tục như thế, ta được hình vuông thứ ba là $\Large A_2B_2C_2D_2$ có diện tích $\Large S_3$ và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích $\Large S_4, S_5,...$ Tính $\Large S=S_1+S_2+...+S_{100}$.

• A.

  $\Large S=\dfrac{2^{100}-1}{2^{99}a^2}$.

• B.

  $\Large S=\dfrac{a(2^{100}-1)}{2^{99}}$.

• C.

  $\Large S=\dfrac{a^2(2^{100}-1)}{2^{99}}$.

• D.

  $\Large S=\dfrac{a^2(2^{99}-1)}{2^{99}}$.

Đáp án C.

Dễ thấy $\Large S_1=a^2$; $\Large S_2=\dfrac{a^2}{2}$; $\Large S_3=\dfrac{a^2}{4}$;...; $\Large S_{100}=\dfrac{a^2}{2^{99}}$

Như vậy $\Large S_1, S_2, S_3,..., S_{100}$ là cấp số nhân với công bội $\Large q=\dfrac{1}{2}$

$\Large S=S_1+S_2+...+S_{100}$ $\Large =a^2\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{2^{99}}\right)$ $\Large =\dfrac{a^2(2^{100}-1)}{2^{99}}$.