Một bàn cờ vua gồm 8 x 8 ô vuông, mỗi ô có cạnh bằng 1 đơn vị. Một ô v

Một bàn cờ vua gồm 8 x 8 ô vuông, mỗi ô có cạnh bằng 1 đơn vị. Một ô vừa là hình vuông hay hình chữ nhật, hai ô là hình chữ nhật, … Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật trên bàn cờ. Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị bằng

• A.

  A. $\Large \dfrac{5}{216}$

• B.

  B. $\Large \dfrac{17}{108}$

• C.

  C. $\Large \dfrac{51}{196}$

• D.

  D. $\Large \dfrac{29}{216}$

Chọn A

Bàn cờ 8 x 8 cần 9 đoạn thẳng dọc. Ta coi bàn cờ vua được xác định bởi các đường thẳng $\Large x = 0$, $\Large x = 1$,..., $\Large x = 8$ và $\Large y = 0$, $\Large y = 1$, …, $\Large y = 8$.

Mỗi hình chữ nhật được tạo thành từ hai đường thẳng $\Large x$ và hai đường thẳng $\Large y$ nên có $\Large C_{9}^{2}.C_{9}^{2}$ hình chữ nhật hay không gian mẫu là $\Large n(\Omega) = C_{9}^{2}.C_{9}^{2} = 1296$.

Gọi $\Large A$ là biến cố hình được chọn là hình vuông có cạnh $\Large a$ lớn hơn 4.

Trường hợp 1: $\Large a = 5$. Khi đó mỗi ô được tạo thành do hai đường thẳng $\Large x$ cách nhau 5 đơn vị và hai đường thẳng $\Large y$ cách nhau 5 đơn vị có 4 . 4 = 16 cách chọn.

Trường hợp 2: $\Large a = 6$. Khi đó mỗi ô được tạo thành do hai đường thẳng $\Large x$ cách nhau 6 đơn vị và hai đường thẳng $\Large y$ cách nhau 6 đơn vị có 3 . 3 = 9 cách chọn.

Trường hợp 3: $\Large a = 7$. Khi đó mỗi ô được tạo thành do hai đường thẳng $\Large x$ cách nhau 7 đơn vị và hai đường thẳng $\Large y$ cách nhau 7 đơn vị có 2 . 2 = 4 cách chọn.

Trường hợp 4: $\Large a = 8$. Khi đó mỗi ô được tạo thành do hai đường thẳng $\Large x$ cách nhau 8 đơn vị và hai đường thẳng $\Large y$ cách nhau 8 đơn vị có 1 . 1 = 1 cách chọn.

Suy ra $\Large n(A) = 16 + 9 + 4 + 1 = 30$.

Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị là:

$\Large P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{30}{1296} = \dfrac{5}{216}$.