Xét các số thực $\Large a, b, x, y$ thỏa mãn $\Large a > 1, b > 1$ và

Xét các số thực $\Large a, b, x, y$ thỏa mãn $\Large a > 1, b > 1$ và $\Large a^{x} = b^{y} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $\Large P = x - 2y$ thuộc tập nào dưới đây?

• A.

  A. $\Large (0; \dfrac{1}{2})$ 

• B.

  B. $\Large (-1; -\dfrac{1}{2})$ 

• C.

  C. $\Large [1; \dfrac{3}{2})$ 

• D.

  D. $\Large [\dfrac{3}{2}; \dfrac{5}{2})$ 

Chọn A

Từ giả thiết ta có:

$\Large \left\{\begin{matrix}a^{x} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\\ b^{y} =\sqrt{\dfrac{a}{b}}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \log_{a}\sqrt{\dfrac{a}{b}}\\ y = \log_{b}\sqrt{\dfrac{a}{b}}\end{matrix}\right.$

$\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \dfrac{1}{2}(1 - \log_{a}b)\\ y =  \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{\log_{a}b}-1)\end{matrix}\right.$

Đặt $\Large t = \log_{a}b$. Vì $\Large a > 1, b > 1$, nên $\Large t > 0$.

Khi đó:

$\Large P = \dfrac{1}{2}(1 - t) - \left ( \dfrac{1}{t} - 1 \right ) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{t}{2} - \dfrac{1}{t}$ 

$\Large = \dfrac{3}{2} - \left ( \dfrac{t}{2} + \dfrac{1}{t} \right ) \leq \dfrac{3}{2} - 2.\sqrt{\dfrac{t}{2} .\dfrac{1}{t}} = \dfrac{3 - 2\sqrt{2}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

$\Large \dfrac{t}{2} = \dfrac{1}{t} \Leftrightarrow t = \sqrt{2} (t > 0)$

$\Large P_{\max} = \dfrac{3 - 2\sqrt{2}}{2} \approx 0,086 \in \left ( 0; \dfrac{1}{2} \right )$.