Cho hàm số $\Large f(x) = x^{3} - (m+1)x^{2} - (2m^{2}-3m + 2)x + 2$.

Cho hàm số $\Large f(x) = x^{3} - (m+1)x^{2} - (2m^{2}-3m + 2)x + 2$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $\Large m$ sao cho hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\Large (2; +\infty)$?

• A.

  A. 2

• B.

  B. 3

• C.

  C. 4

• D.

  D. 5

Chọn C

$\Large f(x) = x^{3} - (m+1)x^{2} - (2m^{2}-3m + 2)x + 2$

$\Large \Rightarrow f{}'(x) = 3x^{2} - 2(m + 1)x - (2m^{2} -3m + 2)$

Nhận xét:

$\Large 2m^{2} -3m + 2 > 0 \forall m \in \mathbb{R}$

nên $\Large f{}'(x) = 3x^{2} - 2(m + 1)x - (2m^{2} -3m + 2) = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $\Large m$.

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\Large (2; +\infty)$ khi và chỉ khi $\Large f{}'(x) \geq  0$ với mọi $\Large x \in (2; +\infty)$.

Điều này xảy ra khi 

$\Large \left\{\begin{matrix}3.f{}'(2) \geq 0\\ x_{1} < x_{2} < 2\end{matrix}\right.$

$\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3.\left [ 3.4 -4(m + 1) -(2m^{2} - 3m + 2) \right ] \geq 0\\ \dfrac{S}{2} < 2\end{matrix}\right.$

$\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-2m^{2} - m + 6 \geq 0\\ \dfrac{m + 1}{3} < 2\end{matrix}\right.$

$\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-2 \leq m \leq \dfrac{3}{2}\\ m < 5\end{matrix}\right.$

$\Large \Leftrightarrow -2\leq m \leq \dfrac{3}{2}$

Do $\Large m$ nguyên nên $\Large m \in \left \{ -2; -1; 0; 1 \right \}$.