Hỏi phương trình $\Large 3.2^x+4.3^x+5.4^x=6.5^x$ có tất cả bao nhiêu

Hỏi phương trình $\Large 3.2^x+4.3^x+5.4^x=6.5^x$ có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

• A.

  A. 2

• B.

  B. 4

• C.

  C. 1

• D.

  D. 3

Chọn C

PT $\Large \Leftrightarrow 3.\left(\dfrac{2}{5}\right)^x+4\left(\dfrac{3}{5}\right)^x+5\left(\dfrac{4}{5}\right)^x-6=0$

Xét hàm số $\Large f(x) = 3.\left(\dfrac{2}{5}\right)^x+4\left(\dfrac{3}{5}\right)^x+5\left(\dfrac{4}{5}\right)^x-6$ liên tục trên $\Large \mathbb{R}$

Ta có: $\Large f'(x)=\Large 3.\left(\dfrac{2}{5}\right)^x.\ln\dfrac{2}{5}+4\left(\dfrac{3}{5}\right)^x.\ln\dfrac{3}{5}+5\left(\dfrac{4}{5}\right)^x.\ln\dfrac{4}{5}<0, \forall x\in\mathbb{R}$

Do đó hàm số luôn nghịch biến trên $\Large \mathbb{R}$ mà $\Large f(0)=6>0, f(2)=-\dfrac{22}{25}<0$ nên phương trình $\Large f(x)=0$ có nghiệm duy nhất