Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $\Large f(

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $\Large f(x)=m^{2}\left(\dfrac{e^{5 x}}{5}-16 e^{x}\right)+3 m\left(\dfrac{e^{3 x}}{3}-4 e^{x}\right)-14\left(\dfrac{e^{2 x}}{2}-2 e^{x}\right)+2020$ đồng biến trên $\Large \mathbb R$. Tổng của các phần tử thuộc S bằng:

• A.

  $\Large -\dfrac{7}{8}$

• B.

  $\Large \dfrac{1}{2}$

• C.

  -2

• D.

  $\Large -\dfrac{3}{8}$

Đặt $\Large t=e^{x} ; t > 0$. Yêu cầu bài toán trở thành: tìm m để hàm số $\Large f(t)=m^{2}\left(\dfrac{t^{5}}{5}-16 t\right)+3 m\left(\dfrac{t^{3}}{3}-4 t\right)-14\left(\dfrac{t^{2}}{2}-2 t\right)+2020$ đồng biến trên $\Large (0 ;+\infty)$

Ta có $\Large f^{\prime}(t)=m^{2}\left(t^{4}-16\right)+3 m\left(t^{2}-4\right)-14(t-2)$

Ycbt $\Large \Leftrightarrow m^{2}\left(t^{4}-16\right)+3 m\left(t^{2}-4\right)-14(t-2) \geq 0 ; \forall t > 0$

$\Large \quad \Leftrightarrow(t-2)\left[m^{2}\left(t^{2}+4\right)(t+2)+3 m(t+2)-14\right] \geq 0 ; \forall t > 0$

Điều kiện cần là phương trình $\Large m^{2}\left(t^{2}+4\right)(t+2)+3 m(t+2)-14=0$ phải có nghiệm $\Large t=2$, tức là: $\Large m^{2}\left(2^{2}+4\right)(2+2)+3 m(2+2)-14=0$ $\Large \Leftrightarrow 32 m^{2}+12 m-14=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
m=\dfrac{1}{2} \\
m=-\dfrac{7}{8}
\end{array}\right.$

Thử lại:

Với $\Large m=\dfrac{1}{2}$ thì

$\Large \begin{aligned}
f^{\prime}(x) &=(t-2)\left[\dfrac{1}{4}\left(t^{2}+4\right)(t+2)+\dfrac{3}{2}(t+2)-14\right] \\
&=\dfrac{1}{4}(t-2)\left(t^{3}+2 t^{2}+10 t-36\right) \\
&=\dfrac{1}{4}(t-2)^{2}\left(t^{2}+4 t+18\right) \geq 0 ; \forall t > 0
\end{aligned}$

nên $\Large m=\dfrac{1}{2}$ nhận.

Với $\Large m=-\dfrac{7}{8}$ thì

$\Large \begin{aligned}
f^{\prime}(x) &=(t-2)\left[\dfrac{49}{64}\left(t^{2}+4\right)(t+2)-\dfrac{21}{8}(t+2)-14\right] \\
&=\dfrac{1}{64}(t-2)\left(49 t^{3}+98 t^{2}+28 t-840\right) \\
&=\dfrac{1}{64}(t-2)^{2}\left(49 t^{2}+196 t+420\right) \geq 0 ; \forall t > 0
\end{aligned}$

nên $\Large m=-\dfrac{7}{8}$ nhận

Vậy $\Large S=\left\{\dfrac{1}{2} ;-\dfrac{7}{8}\right\}$. Tổng của tất cả các phần tử thuộc S bằng: $\Large \dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{8}=-\dfrac{3}{8}$