Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn $\Large 2^{x}+2^{y}+2^{z}

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn $\Large 2^{x}+2^{y}+2^{z}=10$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $\Large P=x+y+3 z$ gần nhất với số nào sau đây?

• A. 8
• B. 10
• C. 9
• D. 7

Đặt: $\Large \left\{\begin{array}{l} a=2^{x} \\ b=2^{y} \\ c=2^{z} \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x=\log _{2} a \\ y=\log _{2} b \\ z=\log _{2} c \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} a+b+c=10 ; a, b, c \geq 1 \\ P=\log _{2}\left(a b c^{3}\right) \end{array}\right.\right.\right.$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$\Large \begin{array}{c} a \cdot b \cdot c^{3} \leq c^{3}\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{2}=c^{3}\left(\dfrac{10-c}{2}\right)^{2}=\dfrac{c}{3} \cdot \dfrac{c}{3} \cdot \dfrac{c}{3}\left(\dfrac{10-c}{2}\right) \cdot\left(\dfrac{10-c}{2}\right) \cdot 27 \\ \leq\left(\dfrac{c+10-c}{5}\right) \cdot 27=2^{5} \cdot 27 \end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi $\Large \dfrac{c}{3}=\dfrac{10-c}{2} \Rightarrow c=6 \Rightarrow a=b=2$

$\Large \Rightarrow P=\log _{2}\left(a b c^{3}\right) \leq \log _{2}\left(2^{5} \cdot 27\right)=5+3 \log _{2} 3 \approx 9,75$