Cho hàm số f(x) liên tục trên $\Large \mathbb R$ thỏa mãn $\Large f(x)

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\Large \mathbb R$ thỏa mãn $\Large f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x+m & \text { khi } x \geq 0 \\
e^{2 x} & \text { khi } x<0
\end{array}\right.$ (m là hằng số). Biết $\Large \int_{-1}^{2} f(x) d x=a+b \cdot e^{-2}$ trogn đó a,b là các số hữu tỷ. Tính $\Large a+b$

• A. 1
• B. 4
• C. 3
• D. 0

Do hàm só liên tục trên $\Large \mathbb R$ nên hàm số liên tục tại $\Large x=0 \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=f(0) \Leftrightarrow m=1$

Khi đó ta có $\Large \int_{-1}^{2} f(x) d x=\int_{-1}^{0} f(x) d x+\int_{0}^{2} f(x) d x=\int_{-1}^{0} e^{2 x} d x+\int_{0}^{2}(x+1) d x$

$\Large =\left.\dfrac{e^{2 x}}{2}\right|_{-1} ^{0}+\left.\left(\dfrac{x^{2}}{2}+x\right)\right|_{0} ^{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{e^{-2}}{2}+4=\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2} e^{-2}$

Do đó: $\Large a=\dfrac{9}{2} ; b=-\dfrac{1}{2}$

Vậy $\Large a+b=4$