Gọi S là tập hợp những giá trị của tham số m để hàm số sau không có cự

Gọi S là tập hợp những giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị trên $\Large \mathbb R$. $\Large f(x)=\dfrac{1}{4} m^{2} \cdot e^{4 x}+\dfrac{1}{3} m \cdot e^{3 x}-\dfrac{1}{2} e^{2 x}-\left(m^{2}+m-1\right) e^{x}$. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng

• A. $\Large -\dfrac{2}{3}$
• B. $\Large \dfrac{2}{3}$
• C. $\Large \dfrac{1}{3}$
• D. $\Large -1$

Chọn A

$\Large f^{\prime}(x)=m^{2} e^{4 x}+m \cdot e^{3 x}-e^{2 x}-\left(m^{2}+m-1\right) e^{x}$$\Large =e^{x}\left(m^{2} \cdot e^{3 x}+m \cdot e^{2 x}-e^{x}-m^{2}-m+1\right)=0$

$\Large \Leftrightarrow m^{2} \cdot e^{3 x}+m \cdot e^{2 x}-e^{x}-m^{2}-m+1=0$

Đặt $\Large t=e^{x} > 0$ ta có

Ta có: $\Large m^{2} t^{3}+m t^{2}-t-m^{2}-m+1=0$

$\Large \Leftrightarrow m^{2}\left(t^{3}-1\right)+m\left(t^{2}-1\right)+1-t=0$ $\Large \Leftrightarrow(t-1)\left[m^{2}\left(t^{2}+t+1\right)+m(t+1)-1\right)=0$

$\Large \Leftrightarrow(t-1)\left[m^{2} t^{2}+\left(m^{2}+m\right) t+m^{2}+m-1\right]=0$

Điều kiện cần để hàm số không có cực trị thì phương trình $\Large m^{2} t^{2}+\left(m^{2}+m\right) t+m^{2}+m-1=0$ có nghiệm $\Large t=1 \Leftrightarrow 3 m^{2}+2 m-1=0 \Leftrightarrow m=-1, m=\dfrac{1}{3}$

Thử lại ta thấy với hai giá trị m trên ta đều có nghiệm đơn $\Large t=1$

Vậy hai giá trị $\Large m=-1, m=\dfrac{1}{3}$ thỏa mãn