Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $

Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\Large P=\dfrac{4040}{\log _{\sqrt{bc}} a}+\dfrac{1010}{\log _{a c} \sqrt{b}}+\dfrac{8080}{3 \log _{a b} \sqrt[3]{c}}$ bằng

• A. 2020
• B. 16160
• C. 20200
• D. 13130

Ta có $\Large P=\dfrac{4040}{\log _{\sqrt{b c}} a}+\dfrac{1010}{\log _{a c} \sqrt{b}}+\dfrac{8080}{3 \log _{a b} \sqrt[3]{c}}=\dfrac{4040}{2 \log _{b c} a}+\dfrac{1010}{\dfrac{1}{2} \log _{a c} b}+\dfrac{8080}{3 \cdot \dfrac{1}{3} \log _{a b} c}$

$\Large =2020 \log _{a} b c+2020 \log _{b} a c+8080 \log _{c} a b$

$\Large =2020\left(\log _{a} b+\log _{a} c\right)+2020\left(\log _{b} a+\log _{b} c\right)+8080\left(\log _{c} a+\log _{c} b\right)$

$\Large =2020 \log _{a} b+2020 \log _{b} a+2020 \log _{a} c+8080 \log _{c} a+2020 \log _{b} c+8080 \log _{c} b$

Vì $\Large a, b, c > 1$ nên các só $\Large \log _{a} b, \log _{b} a, \log _{a} c, \log _{c} a, \log _{b} c, \log _{c} b > 0$

Khi đó ta có

$\Large 2020 \log _{a} b+2020 \log _{b} a \geq 2 \sqrt{2020^{2} \log _{a} b \log _{b} a}=4040$

$\Large 2020 \log _{a} c+8080 \log _{c} a \geq 2 \sqrt{4040^{2} \log _{a} c \log _{c} a}=8080$

$\Large 2020 \log _{b} c+8080 \log _{c} b \geq 2 \sqrt{4040^{2} \log _{b} c \log _{e} b}=8080$

Suy ra $\Large P \geq 4040+8080+8080=20200$