Cho x là số thực dương và y là số thực thỏa mãn $\Large 2^{x+\frac{1}{

Cho x là số thực dương và y là số thực thỏa mãn $\Large 2^{x+\frac{1}{x}}=\log _{2}[14-(y-2) \sqrt{y+1}]$. Giá trị của biểu thức $\Large P=x^{2}+y^{2}-x y+2020$ bằng

• A. 2022
• B. 2020
• C. 2021
• D. 2019

Áp dụng bất đăng thức Cauchy ta có $\Large x+\dfrac{1}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \dfrac{1}{x}}=2, \forall x > 0 \Rightarrow 2^{x+\dfrac{1}{x}} \geq 4$

Đặt $\Large \sqrt{y+1}=t, t \geq 0$ thu được

$\Large 14-(y-2) \sqrt{y+1}=14-\left(t^{2}-3\right) t$ $\Large =-t^{3}+3 t+14=16-(t-1)^{2}(t+2) \leq 16, \forall t \geq 0$

Dẫn đến $\Large \log _{2}[14-(y-2) \sqrt{y+1}] \leq \log _{2} 16=4$

Như vậy hai vế bằng nhau khi dấu đẳng thức xảy ra tức là 

$\Large \left\{\begin{array}{l}
t=1 \\
x=\dfrac{1}{x} \Rightarrow x=1 ; y=0 \Rightarrow P=x^{2}+y^{2}-x y+2020=2021 \\
x > 0
\end{array}\right.$