Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số bậc

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số bậc ba $\large y=x^{3}-3(2 m+1) x^{2}+(12 m+5) x+2$ đồng biến trên khoảng $\large [2 ;+\infty)$. Số phần tử của S bằng 

• A.

  A. 1

• B.

  B. 2

• C.

  C. 0

• D.

  D. 3

Ta có $\large y^{\prime}=3 x^{2}-6(2 m+1) x+12 m+5 ; \forall x \in \mathbb{R}$

Hàm số đồng biến trên $\large [2 ;+\infty) \Leftrightarrow y^{\prime} \geq 0 ; \forall x\geq2 \Leftrightarrow 3 x^{2}-6(2 m+1) x+12 m+5 \geq 0$.

$\large \Leftrightarrow 3 x^{2}-6 x+5 \geq 12 m(x-1)$$\large \Leftrightarrow 12 m \leq f(x)=\dfrac{3 x^{2}-6 x+5}{x-1} ; \forall x\geq2$ $\large \Leftrightarrow 12 m \leq min _{[2 ;+\infty)} f(x)$

Xét hàm số $\large f(x)=\dfrac{3 x^{2}-6 x+5}{x-1}$ trên $\large [2 ;+\infty)$, có $\large f^{\prime}(x)=\dfrac{3 x^{2}-6 x+1}{(x-1)^{2}}>0 ; \forall x \geq 2$.

Suy ra f(x) là hàm số đồng biến trên $\large [2 ;+\infty) \Rightarrow min _{[2 ;+\infty)} f(x)=f(2)=5$.

Vậy $\large 12 m \leq 5 \Leftrightarrow m \leq \dfrac{5}{12}$, kết hợp với $\large m \in Z^{+} \Rightarrow$ Không có giá trị nào của m.