Gọi r và h lần lượt bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệ

Gọi r và h lần lượt bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu $\large V_{1},V_{2}$ lần lượt là thể tích hình nón và thể tích của hình cầu nội tiếp hình nón.Khi r và h thay đổi, tìm giá trị bé nhất của tỉ số $\large \dfrac{V_{1}}{V_{2}}$.

• A. A. $\large \sqrt{2}$
• B. B. $\large 2\sqrt{2}$
• C. C. $\large \dfrac{1}{3}$
• D. D. 2

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua trục của hình nón thì (P) cắt hình nón. Theo tam giác cân SAB, cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn này nội tiếp tam giác cân. Khi đó, bán kính $\large r_{1}$ của hình cầu nội tiếp hình nón được tính bởi công thức $\large r_{1} = \dfrac{rh}{r+\sqrt{h^{2}+r^{2}}}$.

$\large \dfrac{V_{1}}{V_{2}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{\left (\sqrt{1+\dfrac{h^{2}}{r^{2}}+1} \right )^{3}}{\dfrac{h^{2}}{r^{2}}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{\left (1+\sqrt{1+x} \right )^{3}}{x}$ , ở đó $\large \dfrac{h^{2}}{r^{2}} = x > 0$

Xét $\large f(x) = \dfrac{\left (1+\sqrt{1+x}  \right )^{3}}{4x}$,

$\large f'(x) = \dfrac{\left (\sqrt{1+x}+1  \right )^{2}(x-2-2\sqrt{1+x})}{4.2x^{2}\sqrt{x+1}}$ 

Vì $\large \dfrac{\left (\sqrt{1+x}+1 \right )^{2}}{4.2x^{2}\sqrt{x+1}} > 0$ nên khi xét dấu của f(x), ta chỉ cần xét dấu của $\large g(x) = x-2-2\sqrt{1+x}$ 

Ta có $\large g'(x) = 1-\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}$. Dễ thấy g’(x) > 0 vì khi x > 0 thì $\large \dfrac{1}{\sqrt{x+1}} < 1$, đồng thời g(x) = 0 $\large \Leftrightarrow$ x = 8.

Vậy g(x) là hàm tăng trên miền x > 0 và g(8) = 0.

Với $\large 0 < x \leq 8$ thì $\large g(x) \leq 0$