Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuô

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng $\large 60^{\circ}$. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC, R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB). Đẳng thức nào sau đây sai?

 

• A.

  A. R = d[G,(SAB)]

• B.

  B. $\large 3\sqrt{3}R = 2SH$

• C.

  C. $\large \dfrac{R^{2}}{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{39}$

• D.

  D. $\large \dfrac{R}{a} = \sqrt{13}$

Ta có $\large 60^{\circ} = \widehat{SA,(ABC)} = \widehat{SA,HA} = \widehat{SAH}$ 

Tam giác ABC đều cạnh a nên $\large AH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ 

Trong tam giác vuông SHA, ta có

$\large SH = AH. tan\widehat{SAH} = \dfrac{3a}{2}$ 

Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với (SAB) nên bán kính mặt cầu R = d[G,(SAB)].

Ta có 

$\large d[G,(SAB)] = \dfrac{1}{3}d[C,(SAB)] = \dfrac{2}{3}d[H,(SAB)]$

Gọi M, E lần lượt là trung điểm AB và MB.

Suy ra $\large \left\{\begin{matrix}
CM \perp AB & \\ 
CM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} & 
\end{matrix}\right.$ và $\large \left\{\begin{matrix}
HE \perp AB &\\ 
HE = \dfrac{1}{2}CM = \dfrac{a\sqrt{3}}{4} & 
\end{matrix}\right.$ 

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE, suy ra $\large HK \perp SE$.   (1)

 Ta có $\large \left\{\begin{matrix}
HE \perp AB &\\ 
AB \perp SH & 
\end{matrix}\right.\Rightarrow AB \perp (SHE)\Rightarrow AB \perp HK$.    (2)

 Từ (1) và (2), suy ra $\large HK \perp (SAB)$ nên d[H,(SAB)] = HK.

Trong tam giác vuông SHE, ta có $\large HK = \dfrac{SH.HE}{\sqrt{SH^{2}+HE^{2}}} = \dfrac{3a}{2\sqrt{13}}$ 

Vậy $\large R = \dfrac{2}{3}HK = \dfrac{a}{\sqrt{13}}$.

Chọn D.