Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh bằng a . Cạnh

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh bằng a. Cạnh bên $\large SA = a\sqrt{3}$ và vuông góc với đáy (ABC). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là:

 

• A.

  A. $\large \dfrac{a}{2}$

• B.

  B. $\large \dfrac{a\sqrt{13}}{2}$

• C.

  C. $\large \dfrac{a\sqrt{39}}{6}$

• D.

  D. $\large \dfrac{a\sqrt{15}}{4}$

Gọi G là trọng tâm $\large \Delta ABC$, suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp $\large \Delta ABC$.

Từ G dựng tia $\large Gx \perp (ABC)$ (như hình vẽ).

Suy ra Gx là trục của tam giác ABC.

Trong mặt phẳng (SA, Gx), kẻ trung trực d của đoạn thẳng SA.

Gọi O = $\large Gx \cap d \Rightarrow$ $\large \begin{cases}
 & \ O \in Gx \\ 
 & \ O \in d 
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
 & \ OA = OB = OC \\ 
 & \ OA = OS 
\end{cases}$

$\large \Rightarrow$ OA = OB = OC = OS = R.

Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

Ta có OG = PA = $\large \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$;

$\large AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

Trong tam giác vuông OGA, ta có R = OA = $\large \sqrt{OG^{2}+AG^{2}} = \dfrac{a\sqrt{39}}{6}$. Chọn C.