Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $\lar

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $\large AC = a\sqrt{3}$, góc $\large \widehat{ACB}$ bằng $\large 30^{\circ}$. Góc giữa đường thẳng AB’ và mặt phẳng (ABC) bằng $\large 60^{\circ}$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC bằng:

• A.

  A. $\large \dfrac{3a}{4}$

• B.

  B. $\large \dfrac{a\sqrt{21}}{4}$

• C.

  C. $\large \dfrac{a\sqrt{21}}{2}$

• D.

  D. $\large \dfrac{a\sqrt{21}}{8}$

Ta có $\large 60^{\circ} = \widehat{AB’,(ABC)} = \widehat{AB’,AB} = \widehat{B’AB}$.

Trong $\large \Delta ABC$, ta có

$\large AB = AC.sin\widehat{ACB} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

Trong $\large \Delta B’BA$, ta có

$\large BB’ = AB.tan\widehat{B’AB} = \dfrac{3a}{2}$.

Gọi N là trung điểm AC, suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp $\large \Delta ABC$.

Gọi I là trung điểm A’C, suy ra IN // AA’ $\large \Rightarrow IN \perp (ABC)$.

Do đó IN là trục của $\large \Delta ABC$, suy ra IA = IB = IC.  (1)

Hơn nữa, tam giác A’AC vuông tại A có I là trung điểm A’C nên IA’ = IC = IA.   (2)

Từ (1) và (2), ta có IA’ = IA = IB = IC hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A’ABC với bán kính: 

$\large R = IA’ = \dfrac{A’C}{2} = \dfrac{\sqrt{AA'^{2}+AC^{2}}}{2} = \dfrac{a\sqrt{21}}{4}$.

Chọn B.