Cho hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) song song với nhau cắt khối cầu tâm O

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau cắt khối cầu tâm O bán kính R tạo thành hai hình tròn $\large (C_{1})$ và $\large (C_{2})$ cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn, đáy trùng với hình tròn còn lại. Biết diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất, khi đó thể tích khối trụ có hai đáy là hai hình tròn $\large (C_{1})$ và $\large (C_{2})$ bằng:

• A.

  A. $\large \dfrac{4\pi R^{3}\sqrt{3}}{9}$

• B.

  B. $\large \dfrac{2\pi R^{3}\sqrt{3}}{9}$

• C.

  C. $\large \dfrac{\pi R^{3}\sqrt{3}}{9}$

• D.

  D. $\large \dfrac{4\pi R^{3}\sqrt{3}}{3}$

Chọn A

Gọi r, h, l lần lượt là bán kính đáy, chiếu cao và đường sinh của hình nón là $\large I_{1}, I_{2}$, O lần lượt là tâm của hai đường tròn $\large (C_{1}), (C_{2})$ và mặt cầu.

Vì hai đường tròn $\large (C_{1}), (C_{2})$ có bán kính bằng nhau nên dễ dàng suy ra $\large OI_{1} = OI_{2} = \dfrac{h}{2}$ 

Ta có $\large r = \sqrt{R^{2}-\dfrac{h^{2}}{4}} \Rightarrow l = \sqrt{h^{2}+r^{2}} = \sqrt{R^{2}+\dfrac{3h^{2}}{4}}$ 

Diện tích xung quanh hình nón là:

$\large S_{xq} = \pi rl = \pi .\sqrt{R^{2}-\dfrac{h^{2}}{4}}.\sqrt{R^{2}+\dfrac{3h^{2}}{4}}$ 

$\large = \dfrac{\pi }{4\sqrt{3}}.\sqrt{(12R^{2}-3h^{2}).(4R^{2}+3h^{2})}\leq \dfrac{2\pi R^{2}}{\sqrt{3}}$ 

$\large S_{xq}$ lớn nhất bằng $\large \dfrac{2\pi R^{2}}{\sqrt{3}}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\large 12R^{2}-3h^{2} = 4R^{2}+3h^{2}\Leftrightarrow h = \dfrac{2R}{\sqrt{3}}\Rightarrow r = \dfrac{R\sqrt{6}}{3}$ 

Mà bán kính đáy và chiều cao của hình nón cũng chính là bán kính đáy và chiều cao hình trụ.

Vậy thể tích hình trụ $\large V = \pi .r^{2}.h = \pi .\dfrac{6R^{2}}{9}.\dfrac{2R}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\pi R^{3}\sqrt{3}}{9}$