Gọi $\Large S$ là tập tất cả các giá trị của $\Large x\in [0; 100]$ để

Gọi $\Large S$ là tập tất cả các giá trị của $\Large x\in [0; 100]$ để ba số $\Large sinx, cos^2x, sin3x$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của tập $\Large S$.

• A.

  $\Large 1008\pi$.

• B.

  $\Large 496\pi$.

• C.

  $\Large 512\pi$.

• D.

  $\Large 1272\pi$.

Do $\Large sin x$, $\Large cos^2x$, $\Large sin 3x$ theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng nên $\Large 2cos^2x=sinx+sin3x$.

Phương trình tương đương với

$\Large 2cos^2x=2sin2xcosx$ $\Large \Leftrightarrow 2cos^2x=4sinxcos^2x$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & cosx=0 \\ & sinx=\dfrac{1}{2} \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & x=\dfrac{\pi}{2}+k_1\pi \\ & x=\dfrac{\pi}{6}+2k_2\pi \\ & x=\dfrac{5\pi}{6}+2k_3\pi \end{align}\right.$

Do $\Large x\in [0; 100]$ nên $\Large k_1\in \begin{Bmatrix} 0; 1; 2;...; 31 \end{Bmatrix}$, $\Large k_2\in \begin{Bmatrix} 0; 1; 2;...; 15 \end{Bmatrix}$, $\Large k_3\in \begin{Bmatrix} 0; 1; 2;...; 15 \end{Bmatrix}$.

Vậy tổng tất cả các phần tử của tập $\Large S$ bằng

$\Large 32.\dfrac{\pi}{2}+(1+2+...+31).\pi +16.\dfrac{\pi}{6}+(1+2+...+15).2\pi +16.\dfrac{5\pi}{6}+(1+2+...+15).2\pi=1008\pi$.

Chọn đáp án A.