Cho tam giác $\Large ABC$ có độ dài các cạnh là $\Large a, b, c$ theo

Cho tam giác $\Large ABC$ có độ dài các cạnh là $\Large a, b, c$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết $\Large tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{C}{2}=\dfrac{x}{y}$ ($\Large x, y\in \mathbb{N}$, phân số tối giản), tính giá trị $\Large x+y$.

• A. 2.
• B. 4.
• C. 1.
• D. 3.

Gọi $\Large R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $\Large ABC$.

$\Large a, b, c$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi $\Large a+c=2b$.

Ta có

$\Large a+c=2b$ $\Large \Leftrightarrow 2RsinA+2RsinC=4RsinB$ $\Large \Leftrightarrow sinA+sinC=2sinB$

$\Large \Leftrightarrow 2sin\dfrac{A+C}{2}cos\dfrac{A-C}{2}=4sin\dfrac{B}{2}cos\dfrac{B}{2}$ $\Large \Leftrightarrow cos\dfrac{A-C}{2}=2sin\dfrac{B}{2}$

$\Large \Leftrightarrow cos\dfrac{A}{2}cos\dfrac{C}{2}+sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{C}{2}=2cos\dfrac{A+C}{2}$

$\Large \Leftrightarrow cos\dfrac{A}{2}cos\dfrac{A}{2}+sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{C}{2}=2cos\dfrac{A}{2}cos\dfrac{C}{2}-2sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{C}{2}$

$\Large \Leftrightarrow 3sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{C}{2}=cos\dfrac{A}{2}cos\dfrac{C}{2}$

$\Large \Leftrightarrow tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{C}{2}=\dfrac{1}{3}$.

Vậy $\Large x+y=4$.

Chọn đáp án B.