Cho dãy số $\Large (a_n)$ xác định bởi $\Large a_1=5$, $\Large a_{n+1}

Cho dãy số $\Large (a_n)$ xác định bởi $\Large a_1=5$, $\Large a_{n+1}=qa_n+3$, $\Large \forall n\geq 1$, trong đó $\Large q$ là hằng số, $\Large q\neq 0$, $\Large q\neq 1$. Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết dưới dạng $\Large a_n=\alpha q^{n-1}+\beta \dfrac{1-q^{n-1}}{1-q}$. Tính $\Large \alpha +2\beta$.

• A. 11.
• B. 13.
• C. 16.
• D. 9.

Từ dữ kiện đề bài, ta mong muốn tìm được công thức số hạng tổng quát dựa vào cấp số nhân, tức là $\Large a_{n+1}-b=q(a_n-b)$.

Khi đó $\Large a_{n+1}=qa_n+b(1-q)$ $\Large \Rightarrow b=\dfrac{3}{1-q}$ $\Large (q\neq 1)$.

Từ (1) suy ra

$\Large a_{n+1}-b=q(a_n-b)=...=q^n(a_1-b)=q^n(5-b)$.

Suy ra $\Large a_n=b+q^{n-1}(5-b)=5q^{n-1}+b(1-q^{n-1})=5q^{n-1}+3\dfrac{1-q^{n-1}}{1-q}$.

Đồng nhất hệ số ta được $\Large \alpha =5$; $\Large \beta =3$.

Do đó $\Large \alpha + 2\beta =11$.

Chọn đáp án A.