Cho dãy số $\Large (u_n)$ xác định bởi $\Large u_1=\dfrac{1}{3}$ và $\

Cho dãy số $\Large (u_n)$ xác định bởi $\Large u_1=\dfrac{1}{3}$ và $\Large u_{n+1}=\dfrac{n+1}{3n}u_n$. Tổng $\Large S=u_1+\dfrac{u_2}{2}+\dfrac{u_3}{3}+...+\dfrac{u_{10}}{10}$ bằng

• A.

  $\Large \dfrac{29524}{59049}$.

• B.

  $\Large \dfrac{1}{243}$.

• C.

  $\Large \dfrac{3280}{6561}$.

• D.

  $\Large \dfrac{25942}{59049}$.

$\Large u_{n+1}=\dfrac{n+1}{3n}u_n$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{u_{n+1}}{n+1}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{u_n}{n}$ (1).

Đặt $\Large v_n=\dfrac{u_n}{n}$. Từ (1) suy ra $\Large v_{n+1}=\dfrac{1}{3}v_n$.

Khi đó dãy số $\Large (v_n)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $\Large v_1=u_1=\dfrac{1}{3}$, công bội $\Large q=\dfrac{1}{3}$.

$\Large S=u_1+\dfrac{u_2}{2}+\dfrac{u_3}{3}+...+\dfrac{u_{10}}{10}$ $\Large =v_1+v_2+v_3+...+v_{10}$ $\Large =v_1.\dfrac{1-q^{10}}{1-q}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{10}}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{29524}{59049}$.

Chọn đáp án A.