Gọi $\Large S$ là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng (0; 2018) của

Gọi $\Large S$ là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng (0; 2018) của phương trình lượng giác $\Large \sqrt{3}(1-cos2x)+sin2x-4cosx+8=4(\sqrt{3}+1)sinx$. Tổng tất cả các phần tử của $\Large S$ là

• A.

  $\Large \dfrac{310408}{3}\pi$.

• B.

  $\Large 102827\pi$.

• C.

  $\Large \dfrac{312341}{3}\pi$.

• D.

  $\Large 104760\pi$.

Phương trình đã cho tương đương với

$\Large 2\sqrt{3}sin^2x-4(\sqrt{3}+1)sinx+8+2sinxcosx-4cosx=0$

$\Large \Leftrightarrow 2(sinx-2)(\sqrt{3}sinx-2)+2cosx(sinx-2)=0$

$\Large \Leftrightarrow \sqrt{3}sinx+cosx=2$ (Do $\Large sinx-2\neq 0$)

$\Large \Leftrightarrow sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=1$

$\Large \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ $\Large (k\in \mathbb{Z})$.

Do $\Large x\in (0; 2018)$ nên $\Large 0 < \dfrac{\pi}{3}+k2\pi < 2018$, kết hợp với $\Large k$ nguyên ta suy được ra $\Large 0\leq k\leq 321$.

Khi đó 322 nghiệm sẽ lập thành cấp số cộng với số hạng đầu tiên là $\Large u_1=\dfrac{\pi}{3}$ và số hạng thứ 322 là $\Large u_{322}=\dfrac{\pi}{3}+642\pi$.

Do đó tổng tất cả các nghiệm này là $\Large S=\dfrac{322\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}+642\pi\right)}{2}=\dfrac{310408}{3}\pi$.

Chọn đáp án A.