Gọi $\Large S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của

Gọi $\Large S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số $\Large y=x\sqrt{1+{{x}^{2}}}$ , trục hoành , trục tung và đường thẳng $\Large x=1$ . Biết $\Large S=a\sqrt{2}+b$ , với $\Large a,b\in Q$ và $\Large a,b$ viết dạng các phân số tối giản. Tính $\Large a+b$

• A.

  $\Large a+b=\dfrac{1}{6}$

• B.

  $\Large a+b=\dfrac{1}{2}$

• C.

  $\Large a+b=\dfrac{1}{3}$

• D.

  $\Large a+b=0$

Hoành độ giao điểm của (C) và trục $\Large Ox$ là nghiệm của phương trình $\Large x\sqrt{1+{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=0$

Suy ra $\Large S=\int\limits_{0}^{1}{x\sqrt{1+{{x}^{2}}}dx=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{(1+{{x}^{2}})}^{\dfrac{1}{2}}}d(1+{{x}^{2}})}}$$\Large =\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}+1}{{(1+{{x}^{2}})}^{\dfrac{3}{2}}}\left| \begin{align}  & 1 \\  & 0 \\ \end{align} \right.$ $\Large =\dfrac{2}{3}\sqrt{2}-\dfrac{1}{3}$

Do đó $\Large a=\dfrac{2}{3},b=-\dfrac{1}{3}$

Vậy $\Large a+b=\dfrac{1}{3}$ 

Chọn đáp án C