Giá trị của giới hạn $\large \lim\left(\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+.

Giá trị của giới hạn $\large \lim\left(\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}\right)$ bằng

• A. $\large \dfrac{1}{2}$
• B. $\large \dfrac{1}{4}$
• C. $\large 1$
• D. $\large 2$

Chọn A

Với mọi $\large k\in\mathbb{N}^*$ thì $\large \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1} \right )$

Do đó: $\large \begin{align} \lim\left(\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right )=\lim\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}(2n+1) \right )\\
=\lim\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2n+1} \right )=\dfrac{1}{2}\end{align}$