Giả sử $\large F(x)=x^2$ là một nguyên hàm của $\large f(x)\sin^2x$ và

Giả sử $\large F(x)=x^2$ là một nguyên hàm của $\large f(x)\sin^2x$ và G(x) là một nguyên hàm của $\large f(x)\cos^2x$ trên khoảng $\large (0; \pi)$. Biết rằng $\large G\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0; G\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=a\pi +b\pi^2+c\ln2$ với $\large a, b, c$ là các số hữu tỉ. Tổng $\large a+b+c$ bằng

• A.

  $\large -\dfrac{27}{16}$

• B.

  $\large -\dfrac{5}{16}$

• C.

  $\large -\dfrac{21}{16}$

• D.

  $\large \dfrac{11}{16}$

Ta có: $\large F(x)=x^2$ là một nguyên hàm của $\large f(x)\sin^2x$ trên khoảng $\large (0; \pi)$

Nên $\large f(x)\sin^2x=(x^2)'=2x\Rightarrow f(x)=\dfrac{2x}{\sin^2x}$ vì $\large x\in (0; \pi)\Rightarrow \sin \neq 0$

$\large \Rightarrow G(x)= \int f(x)\cos^2 xdx=\int \dfrac{2x\cos^2 x}{\sin^2 x} dx=\int 2x\cot^2 xdx$

$\large =\int 2x(\cot^2 x+1)dx-\int 2xdx=I-x^2+C_1$

Tính $\large I=\int 2x(\cot ^2x+1) dx$

Đặt $\large \left\{\begin{align}& u=2x\\& dv=(\cot ^2x+1)dx\\\end{align}\right.$ $\large \Rightarrow \left\{\begin{align}& du=2dx\\& v=-\cot x\\\end{align}\right.$

$\large \Rightarrow I=-2x\cot x+\int 2\cot xdx=-2x\cot x+2\ln (\sin x)+C_2$ vì $\large x\in (0; \pi)\Rightarrow \sin x>0$

$\large \Rightarrow G(x)=-2x\cot x+2\ln (\sin x)-x^2+C$ 

Vì $\large G\left(\dfrac{\pi}{2}\right) =0\Rightarrow C=\dfrac{\pi^2}{4}$ 

$\large \Rightarrow G(x)=-2x\cot x+2\ln (\sin x)-x^2+\dfrac{\pi^2}{4}$ 

$\large \Rightarrow G\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{2} \pi+\dfrac{3}{16}\pi^2-\ln 2\Rightarrow a=-\dfrac{1}{2}; b=\dfrac{3}{16}; c=-1\Rightarrow a+b+c=-\dfrac{21}{16}$