Giả sử $\Large f\left( x \right)$ là một hàm số có đạo hàm liên tục tr

Giả sử $\Large f\left( x \right)$ là một hàm số có đạo hàm liên tục trên $\Large \mathbb{R}$. Biết rằng $\Large G\left( x \right)={{x}^{3}}$ là một nguyên hàm của $\Large g\left( x \right)={{e}^{-2x}}f\left( x \right)$ trên $\Large \mathbb{R}$. Họ tất cả các nguyên hàm của $\Large {{e}^{-2x}}{f}'\left( x \right)$ là

• A. $\Large -2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+C$.
• B. $\Large {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+C$.
• C. $\Large 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+C$.
• D. $\Large -{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+C$.

Chọn C
$G\left( x \right)={{x}^{3}}$ là một nguyên hàm của $\Large g\left( x \right)={{e}^{-2x}}f\left( x \right)$ trên  $\Large \mathbb{R}$, nên $\Large {{e}^{-2x}}f\left( x \right)=3{{x}^{2}}$.
Xét $\Large I=\int\limits_{{}}^{{}}{{{e}^{-2x}}{f}'\left( x \right)}\text{d}x$.
Đặt $\Large u={{e}^{-2x}}\Rightarrow \text{d}u=-2{{e}^{-2x}}\text{d}x$ và $\Large \text{d}v={f}'\left( x \right)\text{d}x\Rightarrow v=f\left( x \right)$.
Khi đó: $\Large I={{e}^{-2x}}f\left( x \right)+2\int\limits_{{}}^{{}}{{{e}^{-2x}}f\left( x \right)\text{d}x}=3{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}+C.$
Vậy $\Large I=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+C$