Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số $\Large m$ để đồ thị hàm

Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số $\Large m$ để đồ thị hàm số $\Large y=\dfrac{2}{3}x^3-mx^2-2(3m^2-1)x+\dfrac{2}{3}$ có hai điểm cực trị có hoành độ $\Large x_1$, $\Large x_2$ sao cho $\Large x_1x_2+2(x_1+x_2)=1$.

• A. 2.
• B. 3.
• C. 0.
• D. 1.

Chọn D
Ta có $\Large {y}'=2x^2-2mx-2(3m^2-1)$.

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $\Large {y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt, hay $\Large {\Delta}'=m^2+4(3m^2-1) > 0$$\Large \Leftrightarrow 13m^2-4 > 0$.

Khi đó, theo định lý Vi-et, ta có $\Large x_1+x_2=m$ và $\Large x_1x_2=1-3m^2$.

Theo đề bài $\Large x_1x_2+2(x_1+x_2)=1$ $\Large \Leftrightarrow 1-3m^2+2m=1$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & m=0 \\ & m=\dfrac{2}{3} \end{align}\right.$

Đối chiếu điều kiện ta có kết quả $\Large m=\dfrac{2}{3}$ thỏa mãn.