Cho hàm số $\Large f(x)$ liên tục trên [-1; 2] và thỏa mãn điều kiện $

Cho hàm số $\Large f(x)$ liên tục trên [-1; 2] và thỏa mãn điều kiện $\Large f(x)=\sqrt{x+2}+xf(3-x^2)$. Tính tích phân $\Large I=\int\limits_{-1}^2f(x)\mathrm{d}x$

• A.

  $\Large I=\dfrac{28}{3}$.

• B.

  $\Large I=\dfrac{14}{3}$.

• C.

  $\Large I=2$.

• D.

  $\Large I=\dfrac{4}{3}$.

Chọn A
Từ $\Large f(x)=\sqrt{x+2}+xf(3-x^2)$ $\Large \Rightarrow \int\limits_{-1}^2f(x)\mathrm{d}x=\int\limits_{-1}^2\sqrt{x+2}\mathrm{d}x$+$\Large \int\limits_{-1}^2xf(3-x)^2\mathrm{d}x$.

+ Ta có $\Large \int\limits_{-1}^2\sqrt{x+2}\mathrm{d}x$=$\Large \dfrac{2}{3}\left(\sqrt{x+2}\right)^3\Bigg|_{-1}^2=\dfrac{14}{3}$.

+ Tính $\Large \int\limits_{-1}^2xf(3-x^2)\mathrm{d}x$.

Đặt $\Large t=3-x^2\Rightarrow \mathrm{d}t=-2x\mathrm{d}x$.

Đổi cận: khi $\Large x=-1\rightarrow t=2$, $\Large x=2\rightarrow t=-1$.

Do đó $\Large \int\limits_{-1}^2xf(3-x^2)\mathrm{d}x$=$\Large \int\limits_{2}^{-1}f(t)\dfrac{\mathrm{d}t}{-2}$=$\Large \dfrac{1}{2}\int\limits_{-1}^2f(t)\mathrm{d}t$=$\Large \dfrac{1}{2}I$.

+ Vậy $\Large I=\dfrac{14}{3}+\dfrac{1}{2}I$$\Large \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}I=\dfrac{14}{3}$$\Large \Leftrightarrow I=\dfrac{28}{3}$.