Cho phương trình $\Large 9^x-(2m+3).3^x+81=0$ ($\Large m$ là tham số t

Cho phương trình $\Large 9^x-(2m+3).3^x+81=0$ ($\Large m$ là tham số thực). Giá trị của $\Large m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\Large x_1$, $\Large x_2$ thỏa mãn $\Large x_1^2+x_2^2=0$ thuộc khoảng nào sau đây?

• A.

  $\Large (10; 15)$.

• B.

  $\Large (15; +\infty)$.

• C.

  $\Large (0; 5)$.

• D.

  $\Large (5; 10)$.

Chọn A
Ta có $\Large 9^x-(2m+3).3^x+81=0$ $\Large \Leftrightarrow (3^x)^2-(2m+3).3^x+81=0$ (1).

Đặt $\Large t=3^x$, $\Large t > 0$ lúc này (1) $\Large \Rightarrow t^2-(2m+3).t+81=0$ (2).

Để (1) có hai nghiệm phân biệt $\Large x_1$, $\Large x_2$ thì (2) phải có hai nghiệm dương phân biệt $\Large t_1$, $\Large t_2$ 

$\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & \Delta=(2m+3)^2-4.81 > 0 \\ & S=2m+3 > 0 \\ & P=81 > 0 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & 4m^2+12m-315 > 0 \\ & m > -\dfrac{3}{2} \end{align}\right.$ $\Large \left\{\begin{matrix}
\left[\begin{align} & m < -\dfrac{21}{2} \\ & m > \dfrac{15}{2} \end{align}\right.\\ m>\dfrac{-3}{2}\end{matrix}\right.}$ $\Large \Leftrightarrow m > \dfrac{15}{2}$.

Lúc này, ta có $\Large t_1t_2=81\Rightarrow 3^{x_1}.3^{x_2}=81\Leftrightarrow x_1+x_2=4$ (*).

Theo bài ra, $\Large x_1^2+x_2^2=10\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=10\Leftrightarrow x_1x_2=3$

Kết hợp với (*) $\Large \Rightarrow (x_1; x_2)=(1; 3)$ hoặc $\Large (x_1; x_2)=(3; 1)$.

Suy ra $\Large t_1+t_2=2m+3\Leftrightarrow 3+3^3=2m+3$$\Large \Leftrightarrow m=\dfrac{27}{2}\in (10; 15)$.