Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn phương trình: $\Large A_{n}^{3}-2

Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn phương trình: $\Large A_{n}^{3}-2 C_{n}^{4}=3 A_{n}^{2}$

• A. 0
• B. 1
• C. 2
• D. 3

Điều kiện xác định: $\Large n \geq 4 ; n \in \mathbb N$

Ta có phương trình

$\Large \dfrac{n !}{(n-3) !}-2 \cdot \dfrac{n !}{4 !(n-4) !}=3 \cdot \dfrac{n !}{(n-2) !}$

$\Large \Leftrightarrow\dfrac{(n-3) !(n-2)(n-1) n}{(n-3) !}-\dfrac{2(n-4) !(n-3)(n-2)(n-1) n}{24(n-4) !}$$\Large =\dfrac{3(n-2) !(n-1) n}{(n-2) !}$

$\Large \Leftrightarrow(n-2)(n-1) n-\dfrac{(n-3)(n-2)(n-1) n}{12}=3(n-1) n$

$\Large \Leftrightarrow n-2-\dfrac{(n-3)(n-2)}{12}=3$

$\Large \Leftrightarrow 12 n-24-n^{2}+5 n-6=36$

$\Large \Leftrightarrow n^{2}-17 n+66=0$

$\Large \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
n=6 \\
n=11
\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Có 2 giá trị của n thỏa mãn điều kiện. Vậy ta chọn đáp án C