Tìm hệ số của số hạng $\Large x^{26}$ trong khai triển nhị thức Newton

Tìm hệ số của số hạng $\Large x^{26}$ trong khai triển nhị thức Newton của 

$\Large \left(\dfrac{1}{x^{4}}+x^{7}\right)^{n}$.

Biết rằng:

$\Large C _{2 n +1}^{1}+ C _{2 n +1}^{2}+\ldots+ C _{2 n +1}^{ n }=2^{20}-1$

• A. chưa có đáp án
• B.
• C.
• D.

Trước hết xác định n từ giả thiết đã cho như sau:

Theo tính chất của số tổ hợp, ta có:

$\Large \begin{array}{c} 
C _{2 n +1}^{1}= C _{2 n +1}^{2 n } \\
C _{2 n +1}^{2}= C _{2 n +1}^{2 n -1} \\
\ldots \ldots \ldots \ldots \\
C _{2 n +1}^{ n }= C _{2 n+1}^{ n +1}
\end{array}$

Từ đó ta có: 

$\Large C _{2 n+1}^{1}+ C _{2 n +1}^{2}+\ldots+ C _{2 n +1}^{ n }$$\Large = C _{2 n +1}^{2 n }+ C _{2 n+1}^{2 n -1}+\ldots+ C _{2 n +1}^{ n +1}$

Từ (1) ta có: 

$\Large \begin{array}{c}
C_{2 n+1}^{0}+\left(C_{2 n+1}^{1}+C_{2 n+1}^{2}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}\right)+\left(C_{2 n+1}^{2 n}+C_{2 n+1}^{2 n-1}+\ldots+C_{2 n+1}^{n+1}\right)+C_{2 n+1}^{2 n+1} \\
=2+2\left(C_{2 n+1}^{1}+C_{2 n+1}^{2}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}\right)\quad (2)
\end{array}$

Vì vế trái của (2) bằng 2, nên từ (2) và giả thiết ta có:

$\Large 2^{2 n+1}=2+2\left(2^{20}-1\right)=2^{21} \Leftrightarrow n=10$

theo công thức khai triển nhị thức Newton ta cóL

$\Large \left(\dfrac{1}{x^{4}}+x^{7}\right)^{10}=\left(x^{-4}+x^{7}\right)^{10}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k}\left(x^{-4}\right)^{k}\left(x^{7}\right)^{10-k}$$\Large =\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k} x^{70-11 k}$

Ta có $\Large 70-11 k=26 \Rightarrow k=4$. Vậy só hạng chứa $\Large x^{26}$ ứng với $\Large k=4$. Từ đó suy ra hệ số của $\Large x^{26}$ là $\Large C_{10}^{4}=210$